Leysa {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Sameinaðu 2y og 3y til að fá 5y.

$$-x+5y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Sameinaðu 5x og -7x til að fá -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Sameinaðu 5y og 7y til að fá 12y.

$$-2x+12y=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+5y=4$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-5y+4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -5y+4.

$$x=5y-4$$

Settu 5y-4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum 5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

Leggðu -10y saman við 12y.

$$2y+8=2$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=5y-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

Margfaldaðu 5 sinnum -3.

$$x=-15-4$$

Leggðu -4 saman við -15.

$$x=-19$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-19,y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Sameinaðu 2y og 3y til að fá 5y.

$$-x+5y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Sameinaðu 5x og -7x til að fá -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Sameinaðu 5y og 7y til að fá 12y.

$$-2x+12y=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-19,y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -3 með x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Sameinaðu 2x og -3x til að fá -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Sameinaðu 2y og 3y til að fá 5y.

$$-x+5y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 5 með x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Sameinaðu 5x og -7x til að fá -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Sameinaðu 5y og 7y til að fá 12y.

$$-2x+12y=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Til að gera -x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

Einfaldaðu.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

Dragðu 2x-12y=-2 frá 2x-10y=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+12y=-8+2$$

Leggðu -10y saman við 12y.

$$2y=-8+2$$

Leggðu -8 saman við 2.

$$2y=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í -2x+12y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

Margfaldaðu 12 sinnum -3.

$$-2x-36=2$$

Leggðu 36 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=38$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-19$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-19,y=-3$$