Leysa {l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

Til að finna andstæðu x-y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$2x+2y-x+y=3$$

Sameinaðu 2x og -x til að fá x.

$$x+2y+y=3$$

Sameinaðu 2y og y til að fá 3y.

$$x+3y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2 með x-y.

$$x+y-2x+2y=1$$

Sameinaðu x og -2x til að fá -x.

$$-x+y+2y=1$$

Sameinaðu y og 2y til að fá 3y.

$$-x+3y=1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=3$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+3$$

Settu -3y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+3y=1.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

Margfaldaðu -1 sinnum -3y+3.

$$3y-3+3y=1$$

Leggðu 3y saman við 3y.

$$6y-3=1$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6y=4$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Skiptu \frac{2}{3} út fyrir y í x=-3y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{2}{3}.

$$x=-2+3$$

Leggðu 3 saman við -2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

Til að finna andstæðu x-y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$2x+2y-x+y=3$$

Sameinaðu 2x og -x til að fá x.

$$x+2y+y=3$$

Sameinaðu 2y og y til að fá 3y.

$$x+3y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2 með x-y.

$$x+y-2x+2y=1$$

Sameinaðu x og -2x til að fá -x.

$$-x+y+2y=1$$

Sameinaðu y og 2y til að fá 3y.

$$-x+3y=1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

Til að finna andstæðu x-y skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$2x+2y-x+y=3$$

Sameinaðu 2x og -x til að fá x.

$$x+2y+y=3$$

Sameinaðu 2y og y til að fá 3y.

$$x+3y=3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2 með x-y.

$$x+y-2x+2y=1$$

Sameinaðu x og -2x til að fá -x.

$$-x+y+2y=1$$

Sameinaðu y og 2y til að fá 3y.

$$-x+3y=1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Dragðu -x+3y=1 frá x+3y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+x=3-1$$

Leggðu x saman við x.

$$2x=3-1$$

Leggðu 3 saman við -1.

$$2x=2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í -x+3y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-1+3y=1$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$