Leysa {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Margfaldaðu 2 sinnum x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Margfaldaðu -3 sinnum y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Leggðu 4 saman við 3.

$$2x-3y+7=13$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x-3y=6$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

Settu \frac{3y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Leggðu 3 saman við 2.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

Margfaldaðu 5 sinnum y-1.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

Leggðu \frac{9y}{2} saman við 5y.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

Leggðu 15 saman við -5.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{11}{5}$$

Skiptu \frac{11}{5} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{11}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

Leggðu 3 saman við \frac{33}{10}.

$$x=\frac{63}{10}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Einfaldaðu fyrstu jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

Margfaldaðu 2 sinnum x+2.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

Margfaldaðu -3 sinnum y-1.

$$2x+4-3y+3=13$$

Leggðu 4 saman við 3.

$$2x-3y+7=13$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x-3y=6$$

Einfaldaðu aðra jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

Margfaldaðu 3 sinnum x+2.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

Margfaldaðu 5 sinnum y-1.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

Leggðu 6 saman við -5.

$$3x+5y+1=30.9$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x+5y=29.9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$