Leysa {l}{15x+12y=1950}{7x+16y=1950}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 15 x + 12 y = 1950 } \\ { 7 x + 16 y = 1950 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=50$$

$$y=100$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$15x+12y=1950$$

Dragðu 12y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$15x=-12y+1950$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-12y+1950\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{15} sinnum -12y+1950.

$$x=-\frac{4}{5}y+130$$

Settu -\frac{4y}{5}+130 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+16y=1950.

$$7\left(-\frac{4}{5}y+130\right)+16y=1950$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{4y}{5}+130.

$$-\frac{28}{5}y+910+16y=1950$$

Leggðu -\frac{28y}{5} saman við 16y.

$$\frac{52}{5}y+910=1950$$

Dragðu 910 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{52}{5}y=1040$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{52}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=100$$

Skiptu 100 út fyrir y í x=-\frac{4}{5}y+130. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{5}\times 100+130$$

Margfaldaðu -\frac{4}{5} sinnum 100.

$$x=-80+130$$

Leggðu 130 saman við -80.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=100$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{15\times 16-12\times 7}&-\frac{12}{15\times 16-12\times 7}\\-\frac{7}{15\times 16-12\times 7}&\frac{15}{15\times 16-12\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{13}\\-\frac{7}{156}&\frac{5}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 1950-\frac{1}{13}\times 1950\\-\frac{7}{156}\times 1950+\frac{5}{52}\times 1950\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\100\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=50,y=100$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Til að gera 15x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 15.

$$7\times 15x+7\times 12y=7\times 1950,15\times 7x+15\times 16y=15\times 1950$$

Einfaldaðu.

$$105x+84y=13650,105x+240y=29250$$

Dragðu 105x+240y=29250 frá 105x+84y=13650 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$105x-105x+84y-240y=13650-29250$$

Leggðu 105x saman við -105x. Liðirnir 105x og -105x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$84y-240y=13650-29250$$

Leggðu 84y saman við -240y.

$$-156y=13650-29250$$

Leggðu 13650 saman við -29250.

$$-156y=-15600$$

Deildu báðum hliðum með -156.

$$y=100$$

Skiptu 100 út fyrir y í 7x+16y=1950. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+16\times 100=1950$$

Margfaldaðu 16 sinnum 100.

$$7x+1600=1950$$

Dragðu 1600 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=350$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=50$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=50,y=100$$