Leysa {l}{14x-3y=-63}{7x+2y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 x - 3 y = - 63 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$14x-3y=-63$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$14x=3y-63$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$x=\frac{1}{14}\left(3y-63\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{14} sinnum -63+3y.

$$x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}$$

Settu \frac{3y}{14}-\frac{9}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+2y=-7.

$$7\left(\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{3y}{14}-\frac{9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-7$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við 2y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{63}{2}=-7$$

Leggðu \frac{63}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{14}\times 7-\frac{9}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{14} sinnum 7.

$$x=\frac{3-9}{2}$$

Leggðu -\frac{9}{2} saman við \frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{14}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}&\frac{3}{49}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}\left(-63\right)+\frac{3}{49}\left(-7\right)\\-\frac{1}{7}\left(-63\right)+\frac{2}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

Til að gera 14x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 14.

$$7\times 14x+7\left(-3\right)y=7\left(-63\right),14\times 7x+14\times 2y=14\left(-7\right)$$

Einfaldaðu.

$$98x-21y=-441,98x+28y=-98$$

Dragðu 98x+28y=-98 frá 98x-21y=-441 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$98x-98x-21y-28y=-441+98$$

Leggðu 98x saman við -98x. Liðirnir 98x og -98x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-21y-28y=-441+98$$

Leggðu -21y saman við -28y.

$$-49y=-441+98$$

Leggðu -441 saman við 98.

$$-49y=-343$$

Deildu báðum hliðum með -49.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í 7x+2y=-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+2\times 7=-7$$

Margfaldaðu 2 sinnum 7.

$$7x+14=-7$$

Dragðu 14 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=7$$