Leysa {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=14$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x+5y=170$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=-5y+170$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

Settu -\frac{y}{2}+17 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

Leggðu -3y saman við 10y.

$$7y+102=200$$

Dragðu 102 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7y=98$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=14$$

Skiptu 14 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 14.

$$x=-7+17$$

Leggðu 17 saman við -7.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=14$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=14$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Til að gera 10x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Einfaldaðu.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

Dragðu 60x+100y=2000 frá 60x+30y=1020 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

Leggðu 60x saman við -60x. Liðirnir 60x og -60x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$30y-100y=1020-2000$$

Leggðu 30y saman við -100y.

$$-70y=1020-2000$$

Leggðu 1020 saman við -2000.

$$-70y=-980$$

Deildu báðum hliðum með -70.

$$y=14$$

Skiptu 14 út fyrir y í 6x+10y=200. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+10\times 14=200$$

Margfaldaðu 10 sinnum 14.

$$6x+140=200$$

Dragðu 140 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=60$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=14$$