Leysa {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-7x-4y=62$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7x=4y+62$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{7} sinnum 4y+62.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

Settu \frac{-4y-62}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=-2.

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-4y-62}{7}.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

Leggðu -\frac{12y}{7} saman við y.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

Leggðu \frac{186}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Skiptu -\frac{172}{5} út fyrir y í x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{7} sinnum -\frac{172}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

Leggðu -\frac{62}{7} saman við \frac{688}{35} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{54}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Til að gera -7x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -7.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

Dragðu -21x-7y=14 frá -21x-12y=186 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

Leggðu -21x saman við 21x. Liðirnir -21x og 21x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y+7y=186-14$$

Leggðu -12y saman við 7y.

$$-5y=186-14$$

Leggðu 186 saman við -14.

$$-5y=172$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Skiptu -\frac{172}{5} út fyrir y í 3x+y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

Leggðu \frac{172}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{162}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{54}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$