Leysa {l}{-4x+y=-15}{2x-3y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + y = - 15 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x+y=-15$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-y-15$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y-15\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum -y-15.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Settu \frac{15+y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=5.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)-3y=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{15+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}-3y=5$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við -3y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1+15}{4}$$

Leggðu \frac{15}{4} saman við \frac{1}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{-4\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{-4\left(-3\right)-2}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-15\right)-\frac{1}{10}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-15\right)-\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x+y=-15,2x-3y=5$$

Til að gera -4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$2\left(-4\right)x+2y=2\left(-15\right),-4\times 2x-4\left(-3\right)y=-4\times 5$$

Einfaldaðu.

$$-8x+2y=-30,-8x+12y=-20$$

Dragðu -8x+12y=-20 frá -8x+2y=-30 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x+2y-12y=-30+20$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-12y=-30+20$$

Leggðu 2y saman við -12y.

$$-10y=-30+20$$

Leggðu -30 saman við 20.

$$-10y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 2x-3y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3=5$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=1$$