Leysa {l}{-3x+5y=-16}{-5x-4y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = - 16 } \\ { - 5 x - 4 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3x+5y=-16$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-5y-16$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y-16\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}$$

Settu \frac{5y+16}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x-4y=-2.

$$-5\left(\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}\right)-4y=-2$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{5y+16}{3}.

$$-\frac{25}{3}y-\frac{80}{3}-4y=-2$$

Leggðu -\frac{25y}{3} saman við -4y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{80}{3}=-2$$

Leggðu \frac{80}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{74}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{37}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)+\frac{16}{3}$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{-10+16}{3}$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við -\frac{10}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\-5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-4\right)-5\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}&-\frac{5}{37}\\\frac{5}{37}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{37}\left(-16\right)-\frac{5}{37}\left(-2\right)\\\frac{5}{37}\left(-16\right)-\frac{3}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3x+5y=-16,-5x-4y=-2$$

Til að gera -3x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -3.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 5y=-5\left(-16\right),-3\left(-5\right)x-3\left(-4\right)y=-3\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$15x-25y=80,15x+12y=6$$

Dragðu 15x+12y=6 frá 15x-25y=80 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-25y-12y=80-6$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-25y-12y=80-6$$

Leggðu -25y saman við -12y.

$$-37y=80-6$$

Leggðu 80 saman við -6.

$$-37y=74$$

Deildu báðum hliðum með -37.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -5x-4y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x-4\left(-2\right)=-2$$

Margfaldaðu -4 sinnum -2.

$$-5x+8=-2$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-10$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-2$$