Leysa {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2a-b+8=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2a-b=-8$$

Leggðu b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2a=b-8$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

Settu -\frac{b}{2}+4 inn fyrir a í hinni jöfnunni, a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

Leggðu -\frac{b}{2} saman við -2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

Leggðu 4 saman við 1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=2$$

Skiptu 2 út fyrir b í a=-\frac{1}{2}b+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 2.

$$a=-1+4$$

Leggðu 4 saman við -1.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=3,b=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Til að gera -2a og a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

Einfaldaðu.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

Dragðu -2a+4b-2=0 frá -2a-b+8=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

Leggðu -2a saman við 2a. Liðirnir -2a og 2a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-b-4b+8+2=0$$

Leggðu -b saman við -4b.

$$-5b+8+2=0$$

Leggðu 8 saman við 2.

$$-5b+10=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5b=-10$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$b=2$$

Skiptu 2 út fyrir b í a-2b+1=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a-2\times 2+1=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum 2.

$$a-4+1=0$$

Leggðu -4 saman við 1.

$$a-3=0$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=2$$