Leysa {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Sameinaðu -2y og -5y til að fá -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$2x-7y-10x=-10$$

Sameinaðu 2x og -10x til að fá -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=6-6$$

Dragðu 6 frá 6 til að fá út 0.

$$2x+3y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-8x-7y=-10$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8x=7y-10$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

Settu -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Leggðu -\frac{7y}{4} saman við 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{8} sinnum -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við \frac{7}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Sameinaðu -2y og -5y til að fá -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$2x-7y-10x=-10$$

Sameinaðu 2x og -10x til að fá -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=6-6$$

Dragðu 6 frá 6 til að fá út 0.

$$2x+3y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 10, minnsta sameiginlega margfeldi 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Sameinaðu -2y og -5y til að fá -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$2x-7y-10x=-10$$

Sameinaðu 2x og -10x til að fá -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 6, minnsta sameiginlega margfeldi 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum.

$$2x+3y=6-6$$

Dragðu 6 frá 6 til að fá út 0.

$$2x+3y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Til að gera -8x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Einfaldaðu.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

Dragðu -16x-24y=0 frá -16x-14y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Leggðu -16x saman við 16x. Liðirnir -16x og 16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-14y+24y=-20$$

Leggðu -14y saman við 24y.

$$10y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 2x+3y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2.

$$2x-6=0$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$