Leysa {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4, minnsta sameiginlega margfeldi 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu my frá báðum hliðum.

$$x-my=1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

Leystu x+\left(-m\right)y=1 fyrir x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Dragðu \left(-m\right)y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=my+1$$

Settu my+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

Hefðu my+1 í annað veldi.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Leggðu 2y^{2} saman við m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 2+1m^{2} inn fyrir a, 1\times 1\times 2m inn fyrir b og -3 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Hefðu 1\times 1\times 2m í annað veldi.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Margfaldaðu -8-4m^{2} sinnum -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Leggðu 4m^{2} saman við 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Finndu kvaðratrót 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} þegar ± er plús. Leggðu -2m saman við 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Deildu -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} með 4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{6+4m^{2}} frá -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Deildu -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} með 4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Hægt er að leysa y á tvenna vegu: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} og -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. Skiptu \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} út fyrir y í jöfnunni x=my+1 til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

Margfaldaðu m sinnum \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Leggðu m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} saman við 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Settu núna -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} inn fyrir y í jöfnunni x=my+1 og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

Margfaldaðu m sinnum -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Leggðu m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) saman við 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$