Leysa {l}{1/2x-4y=30}{y-2x=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - 4 y = 30 } \\ { y - 2 x = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-12$$

$$y=-9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{2}x-4y=30$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}x=4y+30$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2\left(4y+30\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4y+30.

$$x=8y+60$$

Settu 8y+60 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=15.

$$-2\left(8y+60\right)+y=15$$

Margfaldaðu -2 sinnum 8y+60.

$$-16y-120+y=15$$

Leggðu -16y saman við y.

$$-15y-120=15$$

Leggðu 120 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-15y=135$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=-9$$

Skiptu -9 út fyrir y í x=8y+60. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=8\left(-9\right)+60$$

Margfaldaðu 8 sinnum -9.

$$x=-72+60$$

Leggðu 60 saman við -72.

$$x=-12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-12,y=-9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&-\frac{8}{15}\\-\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 30-\frac{8}{15}\times 15\\-\frac{4}{15}\times 30-\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-12,y=-9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

Til að gera \frac{x}{2} og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með \frac{1}{2}.

$$-2\times \frac{1}{2}x-2\left(-4\right)y=-2\times 30,\frac{1}{2}\left(-2\right)x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 15$$

Einfaldaðu.

$$-x+8y=-60,-x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

Dragðu -x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2} frá -x+8y=-60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x+8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Leggðu 8y saman við -\frac{y}{2}.

$$\frac{15}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

Leggðu -60 saman við -\frac{15}{2}.

$$\frac{15}{2}y=-\frac{135}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{15}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-9$$

Skiptu -9 út fyrir y í -2x+y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-9=15$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=24$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-12,y=-9$$