Leysa {c}{x-2y=9}{3x+4y=7}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 2 y = 9 } \\ { 3 x + 4 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=9$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y+9$$

Settu 2y+9 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y=7.

$$3\left(2y+9\right)+4y=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2y+9.

$$6y+27+4y=7$$

Leggðu 6y saman við 4y.

$$10y+27=7$$

Dragðu 27 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=2y+9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\left(-2\right)+9$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2.

$$x=-4+9$$

Leggðu 9 saman við -4.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 9+\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{3}{10}\times 9+\frac{1}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=9,3x+4y=7$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 9,3x+4y=7$$

Einfaldaðu.

$$3x-6y=27,3x+4y=7$$

Dragðu 3x+4y=7 frá 3x-6y=27 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-6y-4y=27-7$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-4y=27-7$$

Leggðu -6y saman við -4y.

$$-10y=27-7$$

Leggðu 27 saman við -7.

$$-10y=20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 3x+4y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\left(-2\right)=7$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2.

$$3x-8=7$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=15$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=-2$$