Leysa {c}{2x+5y=8}{x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 8 } \\ { x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{39}{11} = 3\frac{6}{11} \approx 3.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=8$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+8.

$$x=-\frac{5}{2}y+4$$

Settu -\frac{5y}{2}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-3y=3.

$$-\frac{5}{2}y+4-3y=3$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við -3y.

$$-\frac{11}{2}y+4=3$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{2}y=-1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{2}{11}$$

Skiptu \frac{2}{11} út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{11}+4$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum \frac{2}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5}{11}+4$$

Leggðu 4 saman við -\frac{5}{11}.

$$x=\frac{39}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-5}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 8+\frac{5}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+5y=8,2x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$2x+5y=8,2x-6y=6$$

Dragðu 2x-6y=6 frá 2x+5y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+5y+6y=8-6$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y+6y=8-6$$

Leggðu 5y saman við 6y.

$$11y=8-6$$

Leggðu 8 saman við -6.

$$11y=2$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=\frac{2}{11}$$

Skiptu \frac{2}{11} út fyrir y í x-3y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-3\times \frac{2}{11}=3$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{2}{11}.

$$x-\frac{6}{11}=3$$

Leggðu \frac{6}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{39}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$