Selesaikan 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Cari nilai x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=8$$

Kurangi 5y dari kedua sisi persamaan.

$$3x=-5y+8$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Kalikan \frac{1}{3} kali -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Ganti \frac{-5y+8}{3} untuk x di persamaan lain, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Tambahkan -\frac{5y}{3} sampai -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Kurangi \frac{8}{3} dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{11}{3}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Tambahkan \frac{8}{3} ke -\frac{5}{3} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Untuk menjadikan 3x dan x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 1 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Sederhanakan.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Kurangi 3x-6y=-3 dari 3x+5y=8 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Tambahkan 3x sampai -3x. Istilah 3x dan -3x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$5y+6y=8+3$$

Tambahkan 5y sampai 6y.

$$11y=8+3$$

Tambahkan 8 sampai 3.

$$11y=11$$

Bagi kedua sisi dengan 11.

$$y=1$$

Ganti 1 untuk y dalam x-2y=-1. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x-2=-1$$

Tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan.

$$x=1$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=1,y=1$$