Selesaikan 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Cari nilai n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Kurangi 1141 dari kedua sisi.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Kurangi 1141 dari 1 untuk mendapatkan -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai n^{2}+an+bn-380. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Karena ab negatif, a dan b memiliki tanda berlawanan. Karena a+b positif, angka positif memiliki nilai absolut yang lebih besar dari negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah 1.

$$a=-19 b=20$$

Tulis ulang n^{2}+n-380 sebagai \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Faktor n di pertama dan 20 dalam grup kedua.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Factor istilah umum n-19 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan n-19=0 dan n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Kurangi 1141 dari kedua sisi persamaan.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Mengurangi 1141 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Kurangi 1141 dari 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 3 dengan a, 3 dengan b, dan -1140 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3 kuadrat.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Kalikan -4 kali 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Kalikan -12 kali -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Tambahkan 9 sampai 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Ambil akar kuadrat dari 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Kalikan 2 kali 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-3±117}{6} jika ± adalah plus. Tambahkan -3 sampai 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Bagi 114 dengan 6.

$$n=19$$

Sekarang selesaikan persamaan n=\frac{-3±117}{6} jika ± adalah minus. Kurangi 117 dari -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Bagi -120 dengan 6.

$$n=-20$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$n=19 n=-20$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Kurangi 1 dari kedua sisi persamaan.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Mengurangi 1 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Kurangi 1 dari 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Bagi kedua sisi dengan 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Membagi dengan 3 membatalkan perkalian dengan 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Bagi 3 dengan 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Bagi 1140 dengan 3.

$$n^{2}+n=380$$

Bagi 1, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}. Lalu tambahkan kuadrat dari \frac{1}{2} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuadratkan \frac{1}{2} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Tambahkan 380 sampai \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Faktorkan n^{2}+n+\frac{1}{4}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Sederhanakan.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Kurangi \frac{1}{2} dari kedua sisi persamaan.

$$n=19 n=-20$$