Selesaikan 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Cari nilai x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Dengan Mengelompokkan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktor sisi kiri dengan pengelompokan. Pertama, sisi kiri harus ditulis ulang sebagai 24x^{2}+ax+bx+21. Untuk menemukan a dan b, siapkan sistem yang akan diatasi.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Karena ab positif, a dan b memiliki tanda sama. Karena a+b negatif, a dan b keduanya negatif. Cantumkan semua pasangan bilangan bulat seperti yang memberikan produk 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Hitung jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Penyelesaiannya adalah pasangan yang memberikan jumlah -65.

$$a=-56 b=-9$$

Tulis ulang 24x^{2}-65x+21 sebagai \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Faktor 8x di pertama dan -3 dalam grup kedua.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Factor istilah umum 3x-7 dengan menggunakan properti distributif.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Untuk menemukan solusi persamaan, selesaikan 3x-7=0 dan 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Rumus Kuadrat

Semua persamaan dari bentuk ax^{2}+bx+c=0 dapat diselesaikan menggunakan rumus kuadrat: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Rumus kuadrat memberi dua penyelesaian, yang pertama adalah ketika ± merupakan penjumlahan dan yang kedua ketika ini merupakan pengurangan.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Persamaan ini ada dalam bentuk standar: ax^{2}+bx+c=0. Ganti 24 dengan a, -65 dengan b, dan 21 dengan c dalam rumus kuadrat, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-65 kuadrat.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kalikan -4 kali 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Kalikan -96 kali 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Tambahkan 4225 sampai -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Ambil akar kuadrat dari 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Kebalikan -65 adalah 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Kalikan 2 kali 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{65±47}{48} jika ± adalah plus. Tambahkan 65 sampai 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Kurangi pecahan \frac{112}{48} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{65±47}{48} jika ± adalah minus. Kurangi 47 dari 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Kurangi pecahan \frac{18}{48} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Persamaan kini terselesaikan.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Langkah Penyelesaian Kuadrat

Persamaan kuadrat seperti yang ini dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat. Agar dapat melengkapi kuadratnya, persamaan harus dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Kurangi 21 dari kedua sisi persamaan.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Mengurangi 21 dari bilangan itu sendiri menghasilkan 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Bagi kedua sisi dengan 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Membagi dengan 24 membatalkan perkalian dengan 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Kurangi pecahan \frac{-21}{24} ke suku terendah dengan mengekstraksi dan membatalkan 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Bagi -\frac{65}{24}, koefisien dari suku x, dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{65}{48}. Lalu tambahkan kuadrat dari -\frac{65}{48} ke kedua sisi persamaan. Langkah ini membuat sisi kiri persamaan menjadi kuadrat yang sempurna.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Kuadratkan -\frac{65}{48} dengan menguadratkan pembilang dan penyebut dari pecahan.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Tambahkan -\frac{7}{8} ke \frac{4225}{2304} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktorkan x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Secara umum, ketika x^{2}+bx+c adalah kuadrat yang sempurna, itu selalu dapat difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Sederhanakan.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Tambahkan \frac{65}{48} ke kedua sisi persamaan.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$