Selesaikan 23x-25y=-169;25x-23y=-167

$$23 x - 25 y = - 169 ; 25 x - 23 y = - 167$$

Cari nilai x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$23x-25y=-169$$

Tambahkan 25y ke kedua sisi persamaan.

$$23x=25y-169$$

Bagi kedua sisi dengan 23.

$$x=\frac{1}{23}\left(25y-169\right)$$

Kalikan \frac{1}{23} kali 25y-169.

$$x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}$$

Ganti \frac{25y-169}{23} untuk x di persamaan lain, 25x-23y=-167.

$$25\left(\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}\right)-23y=-167$$

Kalikan 25 kali \frac{25y-169}{23}.

$$\frac{625}{23}y-\frac{4225}{23}-23y=-167$$

Tambahkan \frac{625y}{23} sampai -23y.

$$\frac{96}{23}y-\frac{4225}{23}=-167$$

Tambahkan \frac{4225}{23} ke kedua sisi persamaan.

$$\frac{96}{23}y=\frac{384}{23}$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan \frac{96}{23}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=4$$

Ganti 4 untuk y dalam x=\frac{25}{23}y-\frac{169}{23}. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=\frac{25}{23}\times 4-\frac{169}{23}$$

Kalikan \frac{25}{23} kali 4.

$$x=\frac{100-169}{23}$$

Tambahkan -\frac{169}{23} ke \frac{100}{23} dengan mencari faktor persekutuan dan menambahkan pembilang. Lalu kurangi pecahan ke suku terkecil jika memungkinkan.

$$x=-3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-3,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&-25\\25&-23\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&-\frac{-25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\\-\frac{25}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}&\frac{23}{23\left(-23\right)-\left(-25\times 25\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}&\frac{25}{96}\\-\frac{25}{96}&\frac{23}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-169\\-167\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{96}\left(-169\right)+\frac{25}{96}\left(-167\right)\\-\frac{25}{96}\left(-169\right)+\frac{23}{96}\left(-167\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=-3,y=4$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$23x-25y=-169,25x-23y=-167$$

Untuk menjadikan 23x dan 25x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 25 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 23.

$$25\times 23x+25\left(-25\right)y=25\left(-169\right),23\times 25x+23\left(-23\right)y=23\left(-167\right)$$

Sederhanakan.

$$575x-625y=-4225,575x-529y=-3841$$

Kurangi 575x-529y=-3841 dari 575x-625y=-4225 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$575x-575x-625y+529y=-4225+3841$$

Tambahkan 575x sampai -575x. Istilah 575x dan -575x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$-625y+529y=-4225+3841$$

Tambahkan -625y sampai 529y.

$$-96y=-4225+3841$$

Tambahkan -4225 sampai 3841.

$$-96y=-384$$

Bagi kedua sisi dengan -96.

$$y=4$$

Ganti 4 untuk y dalam 25x-23y=-167. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$25x-23\times 4=-167$$

Kalikan -23 kali 4.

$$25x-92=-167$$

Tambahkan 92 ke kedua sisi persamaan.

$$25x=-75$$

Bagi kedua sisi dengan 25.

$$x=-3$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=-3,y=4$$