Selesaikan ∫ x(1-x)^2 wrt x

$$\int x ( 1 - x ) ^ { 2 } d x$$

Evaluasi

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Langkah Solusi

Gunakan teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk menjabarkan \left(1-x\right)^{2}.

$$\int x\left(1-2x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan x dengan 1-2x+x^{2}.

$$\int x-2x^{2}+x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrasikan jumlah suku demi suku.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Faktorkan konstanta pada setiap suku.

$$\int x\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{2}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{3}}{3}. Kalikan -2 kali \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Sederhanakan.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Jika F\left(x\right) adalah antiderivatif f\left(x\right), maka kumpulan semua antiderivatives f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Dengan demikian, tambahkan konstanta integrasi C\in \mathrm{R} ke hasil.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Diferensial w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)^{2}$$