Selesaikan ∫ (4x)(x^2+5)^3 wrt x

$$\int ( 4 x ) ( x ^ { 2 } + 5 ) ^ { 3 } d x$$

Evaluasi

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}+С$$

Langkah Solusi

Gunakan teorema binomial \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} untuk menjabarkan \left(x^{2}+5\right)^{3}.

$$\int 4x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Untuk meningkatkan himpunan pangkat suatu bilangan ke himpunan pangkat lainnya, kalikan pangkatnya. Kalikan 2 dan 3 agar menghasilkan 6.

$$\int 4x\left(x^{6}+15\left(x^{2}\right)^{2}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Untuk meningkatkan himpunan pangkat suatu bilangan ke himpunan pangkat lainnya, kalikan pangkatnya. Kalikan 2 dan 2 agar menghasilkan 4.

$$\int 4x\left(x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125\right)\mathrm{d}x$$

Gunakan properti distributif untuk mengalikan 4x dengan x^{6}+15x^{4}+75x^{2}+125.

$$\int 4x^{7}+60x^{5}+300x^{3}+500x\mathrm{d}x$$

Integrasikan jumlah suku demi suku.

$$\int 4x^{7}\mathrm{d}x+\int 60x^{5}\mathrm{d}x+\int 300x^{3}\mathrm{d}x+\int 500x\mathrm{d}x$$

Faktorkan konstanta pada setiap suku.

$$4\int x^{7}\mathrm{d}x+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{7}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{8}}{8}. Kalikan 4 kali \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{8}}{2}+60\int x^{5}\mathrm{d}x+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{5}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{6}}{6}. Kalikan 60 kali \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+300\int x^{3}\mathrm{d}x+500\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x^{3}\mathrm{d}x dengan \frac{x^{4}}{4}. Kalikan 300 kali \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+500\int x\mathrm{d}x$$

Karena \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} untuk k\neq -1, ganti \int x\mathrm{d}x dengan \frac{x^{2}}{2}. Kalikan 500 kali \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{8}}{2}+10x^{6}+75x^{4}+250x^{2}$$

Jika F\left(x\right) adalah antiderivatif f\left(x\right), maka kumpulan semua antiderivatives f\left(x\right) diberikan oleh F\left(x\right)+C. Dengan demikian, tambahkan konstanta integrasi C\in \mathrm{R} ke hasil.

$$250x^{2}+75x^{4}+10x^{6}+\frac{x^{8}}{2}+С$$

Diferensial w.r.t. x

$$4x\left(x^{2}+5\right)^{3}$$