Selesaikan x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Cari nilai x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Langkah-Langkah yang Menggunakan Substitusi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 12, kelipatan perkalian terkecil dari 3,4.

$$4x+3y=48$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 4, kelipatan perkalian terkecil dari 2,4.

$$2x-y=4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan dengan substitusi, terlebih dahulu selesaikan satu persamaan untuk satu variabel. Lalu ganti hasil untuk variabel tersebut di persamaan yang lain.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Pilih salah satu persamaan dan temukan nilai x dengan memisahkan x di sisi kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=48$$

Kurangi 3y dari kedua sisi persamaan.

$$4x=-3y+48$$

Bagi kedua sisi dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Kalikan \frac{1}{4} kali -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Ganti -\frac{3y}{4}+12 untuk x di persamaan lain, 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Kalikan 2 kali -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} sampai -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Kurangi 24 dari kedua sisi persamaan.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Bagi kedua sisi persamaan dengan -\frac{5}{2}, yang sama dengan mengalikan kedua sisi dengan resiprokal dari pecahan.

$$y=8$$

Ganti 8 untuk y dalam x=-\frac{3}{4}y+12. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Kalikan -\frac{3}{4} kali 8.

$$x=-6+12$$

Tambahkan 12 sampai -6.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 12, kelipatan perkalian terkecil dari 3,4.

$$4x+3y=48$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 4, kelipatan perkalian terkecil dari 2,4.

$$2x-y=4$$

Masukkan persamaan dalam bentuk standar lalu gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaannya.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Tulis persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan persamaan sisi kiri dengan matriks terbalik \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Hasil kali matriks dan invers-nya adalah matriks identitas.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks pada sisi kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks kebalikannya adalah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maka persamaan matriks dapat ditulis ulang sebagai persoalan perkalian matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Kalikan matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan penghitungannya.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak elemen matriks x dan y.

$$x=6,y=8$$

Langkah Menggunakan Eliminasi

Sederhanakan persamaan pertama. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 12, kelipatan perkalian terkecil dari 3,4.

$$4x+3y=48$$

Sederhanakan persamaan kedua. Kalikan kedua sisi persamaan dengan 4, kelipatan perkalian terkecil dari 2,4.

$$2x-y=4$$

Agar dapat menyelesaikan dengan eliminasi, koefisien dari satu variabel harus sama dengan kedua persamaan sehingga variabel dapat disederhanakan saat satu persamaan dikurangi dengan persamaan lainnya.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Untuk menjadikan 4x dan 2x yang sama, kalikan semua suku pada tiap sisi dari persamaan pertama dengan 2 dan semua suku pada tiap sisi yang kedua dengan 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Sederhanakan.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Kurangi 8x-4y=16 dari 8x+6y=96 dengan mengurangi suku sejenis pada tiap sisi dari tanda sama dengan.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Tambahkan 8x sampai -8x. Istilah 8x dan -8x dibatalkan, meninggalkan persamaan dengan hanya satu variabel yang dapat diselesaikan.

$$6y+4y=96-16$$

Tambahkan 6y sampai 4y.

$$10y=96-16$$

Tambahkan 96 sampai -16.

$$10y=80$$

Bagi kedua sisi dengan 10.

$$y=8$$

Ganti 8 untuk y dalam 2x-y=4. Karena hasil persamaan hanya berisi satu variabel, Anda dapat menyelesaikan x secara langsung.

$$2x-8=4$$

Tambahkan 8 ke kedua sisi persamaan.

$$2x=12$$

Bagi kedua sisi dengan 2.

$$x=6$$

Sistem kini terselesaikan.

$$x=6,y=8$$