Լուծեք x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-40$$

$$x=9$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+31x-360-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=31 ab=-360$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -360 է։

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 31 գումար։

$$a=-9 b=40$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-9=0-ն և x+40=0-ն։

$$x=9 x=-40$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-360։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -360 է։

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 31 գումար։

$$a=-9 b=40$$

Նորից գրեք x^{2}+31x-360-ը \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 40-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Ֆակտորացրեք x-9 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-9=0-ն և x+40=0-ն։

$$x=9 x=-40$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+31x-360=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 31-ը b-ով և -360-ը c-ով:

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

31-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -360:

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Գումարեք 961 1440-ին:

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Հանեք 2401-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-31±49}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -31 49-ին:

$$x=\frac{18}{2}$$

Բաժանեք 18-ը 2-ի վրա:

$$x=9$$

Այժմ լուծել x=\frac{-31±49}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 49 -31-ից:

$$x=-\frac{80}{2}$$

Բաժանեք -80-ը 2-ի վրա:

$$x=-40$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=9 x=-40$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+31x-360=0$$

Գումարեք 360 հավասարման երկու կողմին:

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Հանելով -360 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Հանեք -360 0-ից:

$$x^{2}+31x=360$$

Բաժանեք 31-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{31}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{31}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{31}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Գումարեք 360 \frac{961}{4}-ին:

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Գործոն x^{2}+31x+\frac{961}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Հանեք \frac{31}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=9 x=-40$$