Լուծեք n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

Լուծել n-ի համար

$$n=-15$$

$$n=16$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 240 երկու կողմերից:

$$n^{2}-n-240=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք n^{2}-n-240-ը՝ օգտագործելով n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=-240$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -240 է։

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -1 գումար։

$$a=-16 b=15$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(n+a\right)\left(n+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-16=0-ն և n+15=0-ն։

$$n=16 n=-15$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 240 երկու կողմերից:

$$n^{2}-n-240=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ n^{2}+an+bn-240։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -240 է։

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -1 գումար։

$$a=-16 b=15$$

Նորից գրեք n^{2}-n-240-ը \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)-ի տեսքով:

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

Դուրս բերել n-ը առաջին իսկ 15-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

Ֆակտորացրեք n-16 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-16=0-ն և n+15=0-ն։

$$n=16 n=-15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$n^{2}-n=240$$

Հանեք 240 հավասարման երկու կողմից:

$$n^{2}-n-240=240-240$$

Հանելով 240 իրենից՝ մնում է 0:

$$n^{2}-n-240=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, -1-ը b-ով և -240-ը c-ով:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -240:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Գումարեք 1 960-ին:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Հանեք 961-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

-1 թվի հակադրությունը 1 է:

$$n=\frac{1±31}{2}$$

Այժմ լուծել n=\frac{1±31}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 1 31-ին:

$$n=\frac{32}{2}$$

Բաժանեք 32-ը 2-ի վրա:

$$n=16$$

Այժմ լուծել n=\frac{1±31}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 31 1-ից:

$$n=-\frac{30}{2}$$

Բաժանեք -30-ը 2-ի վրա:

$$n=-15$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=16 n=-15$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$n^{2}-n=240$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 240 \frac{1}{4}-ին:

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Գործոն n^{2}-n+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$n=16 n=-15$$