Լուծեք 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1.777777778$$

$$x=1$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Հանեք 25 9-ից և ստացեք -16:

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 9x^{2}+ax+bx-16։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -144 է։

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 7 գումար։

$$a=-9 b=16$$

Նորից գրեք 9x^{2}+7x-16-ը \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)-ի տեսքով:

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Դուրս բերել 9x-ը առաջին իսկ 16-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-1=0-ն և 9x+16=0-ն։

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Հանեք 25 հավասարման երկու կողմից:

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Հանելով 25 իրենից՝ մնում է 0:

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Հանեք 25 9-ից:

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 9-ը a-ով, 7-ը b-ով և -16-ը c-ով:

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

7-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 9:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Բազմապատկեք -36 անգամ -16:

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Գումարեք 49 576-ին:

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Հանեք 625-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 9:

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±25}{18} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -7 25-ին:

$$x=\frac{18}{18}$$

Բաժանեք 18-ը 18-ի վրա:

$$x=1$$

Այժմ լուծել x=\frac{-7±25}{18} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 25 -7-ից:

$$x=-\frac{32}{18}$$

Նվազեցնել \frac{-32}{18} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{16}{9}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Հանելով 9 իրենից՝ մնում է 0:

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Հանեք 9 25-ից:

$$9x^{2}+7x=16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Բաժանելով 9-ի՝ հետարկվում է 9-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Բաժանեք \frac{7}{9}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{18}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{18}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{18}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Գումարեք \frac{16}{9} \frac{49}{324}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Գործոն x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Հանեք \frac{7}{18} հավասարման երկու կողմից:

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$