Լուծեք 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1.42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0.17539053$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -5-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -1:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Գումարեք 25 16-ին:

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

-5 թվի հակադրությունը 5 է:

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 5 \sqrt{41}-ին:

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք \sqrt{41} 5-ից:

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Հանելով -1 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Հանեք -1 0-ից:

$$4x^{2}-5x=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Բաժանեք -\frac{5}{4}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{8}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{8}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{8}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Գումարեք \frac{1}{4} \frac{25}{64}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Գործոն x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Գումարեք \frac{5}{8} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$