Լուծեք 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 21 երկու կողմերից:

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Հանեք 21 1-ից և ստացեք -20:

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$2x^{2}+x-10=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 2x^{2}+ax+bx-10։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -20 է։

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 1 գումար։

$$a=-4 b=5$$

Նորից գրեք 2x^{2}+x-10-ը \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)-ի տեսքով:

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Ֆակտորացրեք x-2 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-2=0-ն և 2x+5=0-ն։

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Հանելով 21 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Հանեք 21 1-ից:

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 2-ը b-ով և -20-ը c-ով:

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

2-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -20:

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Գումարեք 4 320-ին:

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Հանեք 324-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±18}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -2 18-ին:

$$x=\frac{16}{8}$$

Բաժանեք 16-ը 8-ի վրա:

$$x=2$$

Այժմ լուծել x=\frac{-2±18}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 18 -2-ից:

$$x=-\frac{20}{8}$$

Նվազեցնել \frac{-20}{8} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 4-ը:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Հանեք 1 21-ից:

$$4x^{2}+2x=20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Նվազեցնել \frac{2}{4} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Բաժանեք 20-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Բաժանեք \frac{1}{2}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{4}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{4}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{4}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Գումարեք 5 \frac{1}{16}-ին:

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Գործոն x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Հանեք \frac{1}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$