Լուծեք 4x^2-4x+7=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x+7=0$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}\approx 0.5+1.224744871i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}\approx 0.5-1.224744871i$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -4-ը b-ով և 7-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

-4-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\times 7}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ 7:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-112}}{2\times 4}$$

Գումարեք 16 -112-ին:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-96}}{2\times 4}$$

Հանեք -96-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

-4 թվի հակադրությունը 4 է:

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 4 4i\sqrt{6}-ին:

$$x=\frac{4+4\sqrt{6}i}{8}$$

Բաժանեք 4+4i\sqrt{6}-ը 8-ի վրա:

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 4i\sqrt{6} 4-ից:

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i+4}{8}$$

Բաժանեք 4-4i\sqrt{6}-ը 8-ի վրա:

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Հանեք 7 հավասարման երկու կողմից:

$$4x^{2}-4x+7-7=-7$$

Հանելով 7 իրենից՝ մնում է 0:

$$4x^{2}-4x=-7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{7}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{7}{4}$$

Բաժանեք -4-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}-x=-\frac{7}{4}$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-7+1}{4}$$

Գումարեք -\frac{7}{4} \frac{1}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{2}$$

Գործոն x^{2}-x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{2}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}i}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$