Լուծեք 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Բազմապատիկ

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Լուծման քայլերը

Բազմապատկեք և համակցեք միանման անդամները:

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Արտահայտության բազմապատիկը գտնելու համար լուծեք հավասարումը, որտեղ արտահայտությունը հավասարվում է 0:

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է -16 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 3 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=-4$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 x+4-ի և ստացեք 3x^{3}+12x^{2}-x-4: Արտահայտության բազմապատիկը գտնելու համար լուծեք հավասարումը, որտեղ արտահայտությունը հավասարվում է 0:

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Ըստ Ռացիոնալ արմատի թեորեմի՝ բազմանդամի բոլոր ռացիոնալ արմատները \frac{p}{q} տեսքով են, որտեղ p բաժանում է -4 հաստատուն անդամը, իսկ q բաժանում է 3 առաջատար գործակիցը: Նշել բոլոր թեկնածուները \frac{p}{q}:

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Գտեք մեկ արմատ՝ փորձելով բոլոր ամբողջ թվով արժեքները, սկսած ամենափոքրից մինչև բացարձակ արժեք: Եթե ոչ մի ամբողջ թվով արմատ չգտնվի, փորձեք կոտորակները:

$$x=-4$$

Ըստ Բազմապատիկի թեորեմի՝ x-k-ը բազմանդամի բազմապատիկն է յուրաքանչյուր k արմատի համար: Բաժանեք 3x^{3}+12x^{2}-x-4 x+4-ի և ստացեք 3x^{2}-1: Արտահայտության բազմապատիկը գտնելու համար լուծեք հավասարումը, որտեղ արտահայտությունը հավասարվում է 0:

$$3x^{2}-1=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 0-ը b-ով և -1-ը c-ով:

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Լուծեք 3x^{2}-1=0 հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Վերագրեք բազմապատիկը ստացած արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արմատները: 3x^{2}-1 բազմանդամից չի ստացվում բազմապատիկ, քանի որ այն չունի ռացիոնալ արմատներ:

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Գնահատել

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Լուծման քայլերը

Համակցեք 48x^{2} և -x^{2} և ստացեք 47x^{2}:

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$