Լուծեք 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Լուծել n-ի համար

$$n=-20$$

$$n=19$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 1141 երկու կողմերից:

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Հանեք 1141 1-ից և ստացեք -1140:

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$n^{2}+n-380=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ n^{2}+an+bn-380։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -380 է։

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 1 գումար։

$$a=-19 b=20$$

Նորից գրեք n^{2}+n-380-ը \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)-ի տեսքով:

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Դուրս բերել n-ը առաջին իսկ 20-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Ֆակտորացրեք n-19 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք n-19=0-ն և n+20=0-ն։

$$n=19 n=-20$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Հանեք 1141 հավասարման երկու կողմից:

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Հանելով 1141 իրենից՝ մնում է 0:

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Հանեք 1141 1-ից:

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 3-ը b-ով և -1140-ը c-ով:

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3-ի քառակուսի:

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ -1140:

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Գումարեք 9 13680-ին:

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Հանեք 13689-ի քառակուսի արմատը:

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Այժմ լուծել n=\frac{-3±117}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -3 117-ին:

$$n=\frac{114}{6}$$

Բաժանեք 114-ը 6-ի վրա:

$$n=19$$

Այժմ լուծել n=\frac{-3±117}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 117 -3-ից:

$$n=-\frac{120}{6}$$

Բաժանեք -120-ը 6-ի վրա:

$$n=-20$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$n=19 n=-20$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Հանելով 1 իրենից՝ մնում է 0:

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Հանեք 1 1141-ից:

$$3n^{2}+3n=1140$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Բաժանեք 3-ը 3-ի վրա:

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Բաժանեք 1140-ը 3-ի վրա:

$$n^{2}+n=380$$

Բաժանեք 1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 380 \frac{1}{4}-ին:

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Գործոն n^{2}+n+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Հանեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$n=19 n=-20$$