Լուծեք 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հանեք 138 երկու կողմերից:

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 3x^{2}+ax+bx-138։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -414 է։

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 5 գումար։

$$a=-18 b=23$$

Նորից գրեք 3x^{2}+5x-138-ը \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)-ի տեսքով:

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Դուրս բերել 3x-ը առաջին իսկ 23-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Ֆակտորացրեք x-6 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-6=0-ն և 3x+23=0-ն։

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$3x^{2}+5x=138$$

Հանեք 138 հավասարման երկու կողմից:

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Հանելով 138 իրենից՝ մնում է 0:

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 5-ը b-ով և -138-ը c-ով:

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ -138:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Գումարեք 25 1656-ին:

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Հանեք 1681-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±41}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -5 41-ին:

$$x=\frac{36}{6}$$

Բաժանեք 36-ը 6-ի վրա:

$$x=6$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±41}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 41 -5-ից:

$$x=-\frac{46}{6}$$

Նվազեցնել \frac{-46}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{23}{3}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$3x^{2}+5x=138$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Բաժանեք 138-ը 3-ի վրա:

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Բաժանեք \frac{5}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{5}{6}-ը: Ապա գումարեք \frac{5}{6}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{5}{6}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Գումարեք 46 \frac{25}{36}-ին:

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Գործոն x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Հանեք \frac{5}{6} հավասարման երկու կողմից:

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$