Լուծեք 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Համակցեք 25x^{2} և -x^{2} և ստացեք 24x^{2}:

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 24x^{2}+ax+bx-25։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -600 է։

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -10 գումար։

$$a=-30 b=20$$

Նորից գրեք 24x^{2}-10x-25-ը \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)-ի տեսքով:

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Դուրս բերել 6x-ը առաջին իսկ 5-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Ֆակտորացրեք 4x-5 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 4x-5=0-ն և 6x+5=0-ն։

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Համակցեք 25x^{2} և -x^{2} և ստացեք 24x^{2}:

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 24-ը a-ով, -10-ը b-ով և -25-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-10-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 24:

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Բազմապատկեք -96 անգամ -25:

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Գումարեք 100 2400-ին:

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Հանեք 2500-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

-10 թվի հակադրությունը 10 է:

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 24:

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Այժմ լուծել x=\frac{10±50}{48} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 10 50-ին:

$$x=\frac{60}{48}$$

Նվազեցնել \frac{60}{48} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 12-ը:

$$x=\frac{5}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{10±50}{48} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 50 10-ից:

$$x=-\frac{40}{48}$$

Նվազեցնել \frac{-40}{48} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 8-ը:

$$x=-\frac{5}{6}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Համակցեք 25x^{2} և -x^{2} և ստացեք 24x^{2}:

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Հավելել 25-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$24x^{2}-10x=25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 24-ի:

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Բաժանելով 24-ի՝ հետարկվում է 24-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Նվազեցնել \frac{-10}{24} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Բաժանեք -\frac{5}{12}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{24}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{24}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{24}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Գումարեք \frac{25}{24} \frac{25}{576}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Գործոն x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Գումարեք \frac{5}{24} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$