Լուծեք 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 24x^{2}+ax+bx+21։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 504 է։

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -65 գումար։

$$a=-56 b=-9$$

Նորից գրեք 24x^{2}-65x+21-ը \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)-ի տեսքով:

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Դուրս բերել 8x-ը առաջին իսկ -3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Ֆակտորացրեք 3x-7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3x-7=0-ն և 8x-3=0-ն։

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 24-ը a-ով, -65-ը b-ով և 21-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-65-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 24:

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Բազմապատկեք -96 անգամ 21:

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Գումարեք 4225 -2016-ին:

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Հանեք 2209-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65 թվի հակադրությունը 65 է:

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 24:

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Այժմ լուծել x=\frac{65±47}{48} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 65 47-ին:

$$x=\frac{112}{48}$$

Նվազեցնել \frac{112}{48} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 16-ը:

$$x=\frac{7}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{65±47}{48} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 47 65-ից:

$$x=\frac{18}{48}$$

Նվազեցնել \frac{18}{48} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 6-ը:

$$x=\frac{3}{8}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Հանեք 21 հավասարման երկու կողմից:

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Հանելով 21 իրենից՝ մնում է 0:

$$24x^{2}-65x=-21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 24-ի:

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Բաժանելով 24-ի՝ հետարկվում է 24-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Նվազեցնել \frac{-21}{24} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 3-ը:

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Բաժանեք -\frac{65}{24}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{65}{48}-ը: Ապա գումարեք -\frac{65}{48}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{65}{48}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Գումարեք -\frac{7}{8} \frac{4225}{2304}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Գործոն x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Գումարեք \frac{65}{48} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$