Լուծեք 2y^2+y-21=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Լուծել y-ի համար

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y=3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 2y^{2}+ay+by-21։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -42 է։

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 1 գումար։

$$a=-6 b=7$$

Նորից գրեք 2y^{2}+y-21-ը \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)-ի տեսքով:

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

Դուրս բերել 2y-ը առաջին իսկ 7-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

Ֆակտորացրեք y-3 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք y-3=0-ն և 2y+7=0-ն։

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$2y^{2}+y-21=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, 1-ը b-ով և -21-ը c-ով:

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

1-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -21:

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Գումարեք 1 168-ին:

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Հանեք 169-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Այժմ լուծել y=\frac{-1±13}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -1 13-ին:

$$y=\frac{12}{4}$$

Բաժանեք 12-ը 4-ի վրա:

$$y=3$$

Այժմ լուծել y=\frac{-1±13}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 13 -1-ից:

$$y=-\frac{14}{4}$$

Նվազեցնել \frac{-14}{4} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$y=-\frac{7}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$2y^{2}+y-21=0$$

Գումարեք 21 հավասարման երկու կողմին:

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Հանելով -21 իրենից՝ մնում է 0:

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

Հանեք -21 0-ից:

$$2y^{2}+y=21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Բաժանեք \frac{1}{2}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{1}{4}-ը: Ապա գումարեք \frac{1}{4}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{1}{4}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

Գումարեք \frac{21}{2} \frac{1}{16}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Գործոն y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Պարզեցնել:

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

Հանեք \frac{1}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$