Լուծեք 169x^2-130x-231=0

$$169 x ^ { 2 } - 130 x - 231 = 0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-\frac{11}{13}\approx -0.846153846$$

$$x = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 169x^{2}+ax+bx-231։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-130 ab=169\left(-231\right)=-39039$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -39039 է։

$$1,-39039 3,-13013 7,-5577 11,-3549 13,-3003 21,-1859 33,-1183 39,-1001 77,-507 91,-429 143,-273 169,-231$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-39039=-39038 3-13013=-13010 7-5577=-5570 11-3549=-3538 13-3003=-2990 21-1859=-1838 33-1183=-1150 39-1001=-962 77-507=-430 91-429=-338 143-273=-130 169-231=-62$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -130 գումար։

$$a=-273 b=143$$

Նորից գրեք 169x^{2}-130x-231-ը \left(169x^{2}-273x\right)+\left(143x-231\right)-ի տեսքով:

$$\left(169x^{2}-273x\right)+\left(143x-231\right)$$

Դուրս բերել 13x-ը առաջին իսկ 11-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$13x\left(13x-21\right)+11\left(13x-21\right)$$

Ֆակտորացրեք 13x-21 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(13x-21\right)\left(13x+11\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 13x-21=0-ն և 13x+11=0-ն։

$$x=\frac{21}{13} x=-\frac{11}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$169x^{2}-130x-231=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 169-ը a-ով, -130-ը b-ով և -231-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-130\right)±\sqrt{\left(-130\right)^{2}-4\times 169\left(-231\right)}}{2\times 169}$$

-130-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-130\right)±\sqrt{16900-4\times 169\left(-231\right)}}{2\times 169}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 169:

$$x=\frac{-\left(-130\right)±\sqrt{16900-676\left(-231\right)}}{2\times 169}$$

Բազմապատկեք -676 անգամ -231:

$$x=\frac{-\left(-130\right)±\sqrt{16900+156156}}{2\times 169}$$

Գումարեք 16900 156156-ին:

$$x=\frac{-\left(-130\right)±\sqrt{173056}}{2\times 169}$$

Հանեք 173056-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-130\right)±416}{2\times 169}$$

-130 թվի հակադրությունը 130 է:

$$x=\frac{130±416}{2\times 169}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 169:

$$x=\frac{130±416}{338}$$

Այժմ լուծել x=\frac{130±416}{338} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 130 416-ին:

$$x=\frac{546}{338}$$

Նվազեցնել \frac{546}{338} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 26-ը:

$$x=\frac{21}{13}$$

Այժմ լուծել x=\frac{130±416}{338} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 416 130-ից:

$$x=-\frac{286}{338}$$

Նվազեցնել \frac{-286}{338} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 26-ը:

$$x=-\frac{11}{13}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{21}{13} x=-\frac{11}{13}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$169x^{2}-130x-231=0$$

Գումարեք 231 հավասարման երկու կողմին:

$$169x^{2}-130x-231-\left(-231\right)=-\left(-231\right)$$

Հանելով -231 իրենից՝ մնում է 0:

$$169x^{2}-130x=-\left(-231\right)$$

Հանեք -231 0-ից:

$$169x^{2}-130x=231$$

Բաժանեք երկու կողմերը 169-ի:

$$\frac{169x^{2}-130x}{169}=\frac{231}{169}$$

Բաժանելով 169-ի՝ հետարկվում է 169-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{130}{169}\right)x=\frac{231}{169}$$

Նվազեցնել \frac{-130}{169} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 13-ը:

$$x^{2}-\frac{10}{13}x=\frac{231}{169}$$

Բաժանեք -\frac{10}{13}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{5}{13}-ը: Ապա գումարեք -\frac{5}{13}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-\frac{10}{13}x+\left(-\frac{5}{13}\right)^{2}=\frac{231}{169}+\left(-\frac{5}{13}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{5}{13}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-\frac{10}{13}x+\frac{25}{169}=\frac{231+25}{169}$$

Գումարեք \frac{231}{169} \frac{25}{169}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}-\frac{10}{13}x+\frac{25}{169}=\frac{256}{169}$$

Գործոն x^{2}-\frac{10}{13}x+\frac{25}{169}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{5}{13}\right)^{2}=\frac{256}{169}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{169}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{5}{13}=\frac{16}{13} x-\frac{5}{13}=-\frac{16}{13}$$

Գումարեք \frac{5}{13} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{21}{13} x=-\frac{11}{13}$$