Լուծեք -6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1.875$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$x-3x-6=2y-8x$$

Համակցեք x և -3x և ստացեք -2x:

$$-2x-6=2y-8x$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-2x-6-2y=-8x$$

Հավելել 8x-ը երկու կողմերում:

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Համակցեք -2x և 8x և ստացեք 6x:

$$6x-6-2y=0$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$6x-2y=6$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-6y+2x=12$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$-6y=-2x+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{6} անգամ -2x+12:

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Փոխարինեք \frac{x}{3}-2-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2y+6x=6:

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{x}{3}-2:

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Գումարեք -\frac{2x}{3} 6x-ին:

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{16}{3}x=2$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{16}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=\frac{3}{8}$$

Փոխարինեք \frac{3}{8}-ը x-ով y=\frac{1}{3}x-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ \frac{3}{8}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Գումարեք -2 \frac{1}{8}-ին:

$$y=-\frac{15}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$x-3x-6=2y-8x$$

Համակցեք x և -3x և ստացեք -2x:

$$-2x-6=2y-8x$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-2x-6-2y=-8x$$

Հավելել 8x-ը երկու կողմերում:

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Համակցեք -2x և 8x և ստացեք 6x:

$$6x-6-2y=0$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$6x-2y=6$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$x-3x-6=2y-8x$$

Համակցեք x և -3x և ստացեք -2x:

$$-2x-6=2y-8x$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$-2x-6-2y=-8x$$

Հավելել 8x-ը երկու կողմերում:

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Համակցեք -2x և 8x և ստացեք 6x:

$$6x-6-2y=0$$

Հավելել 6-ը երկու կողմերում: Ցանկացած թվին գումարելով զրո ստացվում է նույն թիվը:

$$6x-2y=6$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

-6y-ը և -2y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -6-ով:

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Պարզեցնել:

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Հանեք 12y-36x=-36 12y-4x=-24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Գումարեք 12y -12y-ին: 12y-ը և -12y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4x+36x=-24+36$$

Գումարեք -4x 36x-ին:

$$32x=-24+36$$

Գումարեք -24 36-ին:

$$32x=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 32-ի:

$$x=\frac{3}{8}$$

Փոխարինեք \frac{3}{8}-ը x-ով -2y+6x=6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Բազմապատկեք 6 անգամ \frac{3}{8}:

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

Հանեք \frac{9}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=-\frac{15}{8}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$