Լուծեք (x-4)^2+(x-6)^2=100

$$( x - 4 ) ^ { 2 } + ( x - 6 ) ^ { 2 } = 100$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-2$$

$$x=12$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-4\right)^{2}:

$$x^{2}-8x+16+\left(x-6\right)^{2}=100$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-6\right)^{2}:

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-12x+36=100$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}-8x+16-12x+36=100$$

Համակցեք -8x և -12x և ստացեք -20x:

$$2x^{2}-20x+16+36=100$$

Գումարեք 16 և 36 և ստացեք 52:

$$2x^{2}-20x+52=100$$

Հանեք 100 երկու կողմերից:

$$2x^{2}-20x+52-100=0$$

Հանեք 100 52-ից և ստացեք -48:

$$2x^{2}-20x-48=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x^{2}-10x-24=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-24։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-10 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -24 է։

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է -10 գումար։

$$a=-12 b=2$$

Նորից գրեք x^{2}-10x-24-ը \left(x^{2}-12x\right)+\left(2x-24\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 2-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Ֆակտորացրեք x-12 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-12\right)\left(x+2\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-12=0-ն և x+2=0-ն։

$$x=12 x=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-4\right)^{2}:

$$x^{2}-8x+16+\left(x-6\right)^{2}=100$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-6\right)^{2}:

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-12x+36=100$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}-8x+16-12x+36=100$$

Համակցեք -8x և -12x և ստացեք -20x:

$$2x^{2}-20x+16+36=100$$

Գումարեք 16 և 36 և ստացեք 52:

$$2x^{2}-20x+52=100$$

Հանեք 100 երկու կողմերից:

$$2x^{2}-20x+52-100=0$$

Հանեք 100 52-ից և ստացեք -48:

$$2x^{2}-20x-48=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, -20-ը b-ով և -48-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

-20-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-8\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -48:

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+384}}{2\times 2}$$

Գումարեք 400 384-ին:

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{784}}{2\times 2}$$

Հանեք 784-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-20\right)±28}{2\times 2}$$

-20 թվի հակադրությունը 20 է:

$$x=\frac{20±28}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$x=\frac{20±28}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{20±28}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 20 28-ին:

$$x=\frac{48}{4}$$

Բաժանեք 48-ը 4-ի վրա:

$$x=12$$

Այժմ լուծել x=\frac{20±28}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 28 20-ից:

$$x=-\frac{8}{4}$$

Բաժանեք -8-ը 4-ի վրա:

$$x=-2$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=12 x=-2$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-4\right)^{2}:

$$x^{2}-8x+16+\left(x-6\right)^{2}=100$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-6\right)^{2}:

$$x^{2}-8x+16+x^{2}-12x+36=100$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}-8x+16-12x+36=100$$

Համակցեք -8x և -12x և ստացեք -20x:

$$2x^{2}-20x+16+36=100$$

Գումարեք 16 և 36 և ստացեք 52:

$$2x^{2}-20x+52=100$$

Հանեք 52 երկու կողմերից:

$$2x^{2}-20x=100-52$$

Հանեք 52 100-ից և ստացեք 48:

$$2x^{2}-20x=48$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2x^{2}-20x}{2}=\frac{48}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{2}\right)x=\frac{48}{2}$$

Բաժանեք -20-ը 2-ի վրա:

$$x^{2}-10x=\frac{48}{2}$$

Բաժանեք 48-ը 2-ի վրա:

$$x^{2}-10x=24$$

Բաժանեք -10-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -5-ը: Ապա գումարեք -5-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=24+\left(-5\right)^{2}$$

-5-ի քառակուսի:

$$x^{2}-10x+25=24+25$$

Գումարեք 24 25-ին:

$$x^{2}-10x+25=49$$

Գործոն x^{2}-10x+25: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-5\right)^{2}=49$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Պարզեցնել:

$$x-5=7 x-5=-7$$

Գումարեք 5 հավասարման երկու կողմին:

$$x=12 x=-2$$