Լուծեք (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-1$$

$$x=2$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x-2\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Դիտարկեք \left(2x-1\right)\left(2x+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 1-ի քառակուսի:

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Ընդարձակեք \left(2x\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Համակցեք 25x^{2} և -4x^{2} և ստացեք 21x^{2}:

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Հանեք 47 երկու կողմերից:

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Հանեք 47 5-ից և ստացեք -42:

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Համակցեք -20x և -x և ստացեք -21x:

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 21-ի:

$$x^{2}-x-2=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-2։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, բացասական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան դրականը։ Միակ նման զույգը համակարգի լուծումն է։

$$a=-2 b=1$$

Նորից գրեք x^{2}-x-2-ը \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Ֆակտորացրեք x-ը x^{2}-2x-ում։

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Ֆակտորացրեք x-2 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-2=0-ն և x+1=0-ն։

$$x=2 x=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x-2\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Դիտարկեք \left(2x-1\right)\left(2x+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 1-ի քառակուսի:

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Ընդարձակեք \left(2x\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Համակցեք 25x^{2} և -4x^{2} և ստացեք 21x^{2}:

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Հանեք 47 երկու կողմերից:

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Հանեք 47 5-ից և ստացեք -42:

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Համակցեք -20x և -x և ստացեք -21x:

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 21-ը a-ով, -21-ը b-ով և -42-ը c-ով:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

-21-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 21:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Բազմապատկեք -84 անգամ -42:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Գումարեք 441 3528-ին:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Հանեք 3969-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

-21 թվի հակադրությունը 21 է:

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 21:

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Այժմ լուծել x=\frac{21±63}{42} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք 21 63-ին:

$$x=\frac{84}{42}$$

Բաժանեք 84-ը 42-ի վրա:

$$x=2$$

Այժմ լուծել x=\frac{21±63}{42} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 63 21-ից:

$$x=-\frac{42}{42}$$

Բաժանեք -42-ը 42-ի վրա:

$$x=-1$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=2 x=-1$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(5x-2\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Դիտարկեք \left(2x-1\right)\left(2x+1\right): Բազմապատկումը կարող է վերածվել քառակուսիների տարբերության հետևյալ կանոնի միջոցով՝ \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}: 1-ի քառակուսի:

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Ընդարձակեք \left(2x\right)^{2}:

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

4x^{2}-1-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Համակցեք 25x^{2} և -4x^{2} և ստացեք 21x^{2}:

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Գումարեք 4 և 1 և ստացեք 5:

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Համակցեք -20x և -x և ստացեք -21x:

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Հանեք 5 47-ից և ստացեք 42:

$$21x^{2}-21x=42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 21-ի:

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Բաժանելով 21-ի՝ հետարկվում է 21-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Բաժանեք -21-ը 21-ի վրա:

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Բաժանեք 42-ը 21-ի վրա:

$$x^{2}-x=2$$

Բաժանեք -1-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք -\frac{1}{2}-ը: Ապա գումարեք -\frac{1}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի -\frac{1}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Գումարեք 2 \frac{1}{4}-ին:

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Գործոն x^{2}-x+\frac{1}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Գումարեք \frac{1}{2} հավասարման երկու կողմին:

$$x=2 x=-1$$