Լուծեք (2x+5)^2=(x+2)^2

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$x=-3$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Համակցեք 20x և -4x և ստացեք 16x:

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Հանեք 4 երկու կողմերից:

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Հանեք 4 25-ից և ստացեք 21:

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 3x^{2}+ax+bx+21։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=16 ab=3\times 21=63$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 63 է։

$$1,63 3,21 7,9$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+63=64 3+21=24 7+9=16$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 16 գումար։

$$a=7 b=9$$

Նորից գրեք 3x^{2}+16x+21-ը \left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)-ի տեսքով:

$$\left(3x^{2}+7x\right)+\left(9x+21\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 3-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(3x+7\right)+3\left(3x+7\right)$$

Ֆակտորացրեք 3x+7 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3x+7\right)\left(x+3\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3x+7=0-ն և x+3=0-ն։

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Համակցեք 20x և -4x և ստացեք 16x:

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Հանեք 4 երկու կողմերից:

$$3x^{2}+16x+25-4=0$$

Հանեք 4 25-ից և ստացեք 21:

$$3x^{2}+16x+21=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 16-ը b-ով և 21-ը c-ով:

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

16-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 21}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 21}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ 21:

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-252}}{2\times 3}$$

Գումարեք 256 -252-ին:

$$x=\frac{-16±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Հանեք 4-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-16±2}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{-16±2}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-16±2}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -16 2-ին:

$$x=-\frac{14}{6}$$

Նվազեցնել \frac{-14}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{7}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-16±2}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 2 -16-ից:

$$x=-\frac{18}{6}$$

Բաժանեք -18-ը 6-ի վրա:

$$x=-3$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+5\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25=\left(x+2\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$4x^{2}+20x+25=x^{2}+4x+4$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+20x+25-x^{2}=4x+4$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+20x+25=4x+4$$

Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$3x^{2}+20x+25-4x=4$$

Համակցեք 20x և -4x և ստացեք 16x:

$$3x^{2}+16x+25=4$$

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$3x^{2}+16x=4-25$$

Հանեք 25 4-ից և ստացեք -21:

$$3x^{2}+16x=-21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{21}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{21}{3}$$

Բաժանեք -21-ը 3-ի վրա:

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-7$$

Բաժանեք \frac{16}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{8}{3}-ը: Ապա գումարեք \frac{8}{3}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-7+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{8}{3}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-7+\frac{64}{9}$$

Գումարեք -7 \frac{64}{9}-ին:

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{1}{9}$$

Գործոն x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{8}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$$

Հանեք \frac{8}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-\frac{7}{3} x=-3$$