Լուծեք (2x+3)^2=25

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } = 25$$

Լուծել x-ի համար

$$x=1$$

$$x=-4$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+3\right)^{2}:

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$4x^{2}+12x+9-25=0$$

Հանեք 25 9-ից և ստացեք -16:

$$4x^{2}+12x-16=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x^{2}+3x-4=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx-4։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -4 է։

$$-1,4 -2,2$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 3 գումար։

$$a=-1 b=4$$

Նորից գրեք x^{2}+3x-4-ը \left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 4-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-1=0-ն և x+4=0-ն։

$$x=1 x=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+3\right)^{2}:

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$4x^{2}+12x+9-25=0$$

Հանեք 25 9-ից և ստացեք -16:

$$4x^{2}+12x-16=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, 12-ը b-ով և -16-ը c-ով:

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

12-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 4:

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք -16 անգամ -16:

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+256}}{2\times 4}$$

Գումարեք 144 256-ին:

$$x=\frac{-12±\sqrt{400}}{2\times 4}$$

Հանեք 400-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-12±20}{2\times 4}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 4:

$$x=\frac{-12±20}{8}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-12±20}{8} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -12 20-ին:

$$x=\frac{8}{8}$$

Բաժանեք 8-ը 8-ի վրա:

$$x=1$$

Այժմ լուծել x=\frac{-12±20}{8} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 20 -12-ից:

$$x=-\frac{32}{8}$$

Բաժանեք -32-ը 8-ի վրա:

$$x=-4$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=1 x=-4$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+3\right)^{2}:

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Հանեք 9 երկու կողմերից:

$$4x^{2}+12x=25-9$$

Հանեք 9 25-ից և ստացեք 16:

$$4x^{2}+12x=16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=\frac{16}{4}$$

Բաժանելով 4-ի՝ հետարկվում է 4-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=\frac{16}{4}$$

Բաժանեք 12-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+3x=\frac{16}{4}$$

Բաժանեք 16-ը 4-ի վրա:

$$x^{2}+3x=4$$

Բաժանեք 3-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{3}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{3}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{3}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Գումարեք 4 \frac{9}{4}-ին:

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Գործոն x^{2}+3x+\frac{9}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=1 x=-4$$