Լուծեք (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+1\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-5\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Համակցեք 4x և 10x և ստացեք 14x:

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Հանեք 25 1-ից և ստացեք -24:

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 3x^{2}+ax+bx-24։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -72 է։

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 14 գումար։

$$a=-4 b=18$$

Նորից գրեք 3x^{2}+14x-24-ը \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)-ի տեսքով:

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 6-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Ֆակտորացրեք 3x-4 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք 3x-4=0-ն և x+6=0-ն։

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+1\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-5\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Համակցեք 4x և 10x և ստացեք 14x:

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Հանեք 25 երկու կողմերից:

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Հանեք 25 1-ից և ստացեք -24:

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 3-ը a-ով, 14-ը b-ով և -24-ը c-ով:

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

14-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 3:

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք -12 անգամ -24:

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Գումարեք 196 288-ին:

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Հանեք 484-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 3:

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-14±22}{6} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -14 22-ին:

$$x=\frac{8}{6}$$

Նվազեցնել \frac{8}{6} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=\frac{4}{3}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-14±22}{6} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 22 -14-ից:

$$x=-\frac{36}{6}$$

Բաժանեք -36-ը 6-ի վրա:

$$x=-6$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2x+1\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x-5\right)^{2}:

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Հանեք x^{2} երկու կողմերից:

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Համակցեք 4x^{2} և -x^{2} և ստացեք 3x^{2}:

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Համակցեք 4x և 10x և ստացեք 14x:

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Հանեք 1 երկու կողմերից:

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Հանեք 1 25-ից և ստացեք 24:

$$3x^{2}+14x=24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Բաժանելով 3-ի՝ հետարկվում է 3-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Բաժանեք 24-ը 3-ի վրա:

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Բաժանեք \frac{14}{3}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{7}{3}-ը: Ապա գումարեք \frac{7}{3}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{7}{3}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Գումարեք 8 \frac{49}{9}-ին:

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Գործոն x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Հանեք \frac{7}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$