Լուծեք x^2+11x+28=0

$${ x }^{ 2 } +11x+28=0$$

Լուծել x-ի համար

$$x=-7$$

$$x=-4$$

Արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}+11x+28-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=11 ab=28$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 28 է։

$$1,28 2,14 4,7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 11 գումար։

$$a=4 b=7$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+4=0-ն և x+7=0-ն։

$$x=-4 x=-7$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ x^{2}+ax+bx+28։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=11 ab=1\times 28=28$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ դրական են։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը 28 է։

$$1,28 2,14 4,7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 11 գումար։

$$a=4 b=7$$

Նորից գրեք x^{2}+11x+28-ը \left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right)-ի տեսքով:

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(7x+28\right)$$

Դուրս բերել x-ը առաջին իսկ 7-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$x\left(x+4\right)+7\left(x+4\right)$$

Ֆակտորացրեք x+4 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x+4\right)\left(x+7\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x+4=0-ն և x+7=0-ն։

$$x=-4 x=-7$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

ax^{2}+bx+c=0 ձևի բոլոր հավասարությունները կարող են լուծվել քառակուսու բանաձևի միջոցով. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառակուսու բանաձևը երկու լուծում ունի, մեկը երբ ±-ը գումարում է, իսկ մյուսը, երբ հանում է:

$$x^{2}+11x+28=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 1-ը a-ով, 11-ը b-ով և 28-ը c-ով:

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 28}}{2}$$

11-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 28:

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{2}$$

Գումարեք 121 -112-ին:

$$x=\frac{-11±\sqrt{9}}{2}$$

Հանեք 9-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-11±3}{2}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -11 3-ին:

$$x=-\frac{8}{2}$$

Բաժանեք -8-ը 2-ի վրա:

$$x=-4$$

Այժմ լուծել x=\frac{-11±3}{2} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 3 -11-ից:

$$x=-\frac{14}{2}$$

Բաժանեք -14-ը 2-ի վրա:

$$x=-7$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=-4 x=-7$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Սրա նման քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել՝ բարձրացնելով քառակուսի: Քառակուսի բարձրացնելու համար նախ հավասարումը պետք է լինի x^{2}+bx=c ձևով:

$$x^{2}+11x+28=0$$

Հանեք 28 հավասարման երկու կողմից:

$$x^{2}+11x+28-28=-28$$

Հանելով 28 իրենից՝ մնում է 0:

$$x^{2}+11x=-28$$

Բաժանեք 11-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{11}{2}-ը: Ապա գումարեք \frac{11}{2}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{11}{2}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Գումարեք -28 \frac{121}{4}-ին:

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Գործոն x^{2}+11x+\frac{121}{4}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Հանեք \frac{11}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$x=-4 x=-7$$