Լուծեք left(x+1right)^2+left(x+2right)^2=x+12

$${ \left(x+1 \right) }^{ 2 } + { \left(x+2 \right) }^{ 2 } =x+12$$

Լուծել x-ի համար

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=1$$

Խմբավորման միջոցով արտադրիչների վերլուծություն կատարելու քայլեր

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Համակցեք 2x և 4x և ստացեք 6x:

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Համակցեք 6x և -x և ստացեք 5x:

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Հանեք 12 երկու կողմերից:

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Հանեք 12 5-ից և ստացեք -7:

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք ձախ հատվածը՝ խմբավորման միջոցով։ Նախ, ձախ հատվածը պետք է գրվի այսպես՝ 2x^{2}+ax+bx-7։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Քանի որ ab-ն բացասական է, a-ն և b-ն հակառակ նշաններն ունեն։ Քանի որ a+b-ն դրական է, դրական թիվը ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունի, քան բացասականը։ Թվարկեք բոլոր այն ամբողջ թվով զույգերը, որոնց արդյունքը -14 է։

$$-1,14 -2,7$$

Հաշվարկեք յուրաքանչյուր զույգի գումարը։

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Լուծումը այն զույգն է, որը տալիս է 5 գումար։

$$a=-2 b=7$$

Նորից գրեք 2x^{2}+5x-7-ը \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)-ի տեսքով:

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

Դուրս բերել 2x-ը առաջին իսկ 7-ը՝ երկրորդ խմբում։

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Ֆակտորացրեք x-1 սովորական անդամը՝ օգտագործելով բաժանիչ հատկություն:

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-1=0-ն և 2x+7=0-ն։

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է քառակուսու բանաձևը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Համակցեք 2x և 4x և ստացեք 6x:

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Համակցեք 6x և -x և ստացեք 5x:

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Հանեք 12 երկու կողմերից:

$$2x^{2}+5x+5-12=0$$

Հանեք 12 5-ից և ստացեք -7:

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 2-ը a-ով, 5-ը b-ով և -7-ը c-ով:

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

5-ի քառակուսի:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 2:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -7:

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Գումարեք 25 56-ին:

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Հանեք 81-ի քառակուսի արմատը:

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±9}{4} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք -5 9-ին:

$$x=\frac{4}{4}$$

Բաժանեք 4-ը 4-ի վրա:

$$x=1$$

Այժմ լուծել x=\frac{-5±9}{4} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 9 -5-ից:

$$x=-\frac{14}{4}$$

Նվազեցնել \frac{-14}{4} կոտորակը մինչև ամենափոքր արժեքների՝ արտահանելով և չեղարկելով 2-ը:

$$x=-\frac{7}{2}$$

Հավասարումն այժմ լուծված է:

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Քառակուսի բարձրացնելու քայլերը

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1+\left(x+2\right)^{2}=x+12$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+2\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1+x^{2}+4x+4=x+12$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$2x^{2}+2x+1+4x+4=x+12$$

Համակցեք 2x և 4x և ստացեք 6x:

$$2x^{2}+6x+1+4=x+12$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$2x^{2}+6x+5=x+12$$

Հանեք x երկու կողմերից:

$$2x^{2}+6x+5-x=12$$

Համակցեք 6x և -x և ստացեք 5x:

$$2x^{2}+5x+5=12$$

Հանեք 5 երկու կողմերից:

$$2x^{2}+5x=12-5$$

Հանեք 5 12-ից և ստացեք 7:

$$2x^{2}+5x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Բաժանելով 2-ի՝ հետարկվում է 2-ով բազմապատկումը:

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Բաժանեք \frac{5}{2}-ը՝ x անդամի գործակիցը 2-ի և ստացեք \frac{5}{4}-ը: Ապա գումարեք \frac{5}{4}-ի քառակուսին հավասարման երկու կողմերին: Այս քայլը հավասարման ձախ կողմը դարձնում է լրիվ քառակուսի:

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Բարձրացրեք քառակուսի \frac{5}{4}-ը՝ բարձրացնելով քառակուսի կոտորակի և համարիչը, և հայտարարը:

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Գումարեք \frac{7}{2} \frac{25}{16}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Գործոն x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}: Ընդհանուր առմամբ, երբ x^{2}+bx+c մաքուր քառակուսի թիվ է, այն միշտ կարելի է համարել \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ամբողջ մաս։

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Բարձրացրեք քառակուսի արմատ հավասարման երկու կողմերը:

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Պարզեցնել:

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Հանեք \frac{5}{4} հավասարման երկու կողմից:

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$