Լուծեք sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Լուծել x-ի համար

$$x=5$$

$$x=1$$

Լուծման քայլերը

Հանեք -\sqrt{2x-1} հավասարման երկու կողմից:

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{3x+1} աստիճանը և ստացեք 3x+1:

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}:

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{2x-1} աստիճանը և ստացեք 2x-1:

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Հանեք 1 1-ից և ստացեք 0:

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Հանեք 2x հավասարման երկու կողմից:

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(x+1\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}:

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 2 աստիճանը և ստացեք 4:

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{2x-1} աստիճանը և ստացեք 2x-1:

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-1-ով բազմապատկելու համար:

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Հանեք 8x երկու կողմերից:

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Համակցեք 2x և -8x և ստացեք -6x:

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Գումարեք 1 և 4 և ստացեք 5:

$$x^{2}-6x+5=0$$

Հավասարումը լուծելու համար դուրս բերեք x^{2}-6x+5-ը՝ օգտագործելով x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) բանաձևը։ a-ը և b-ը գտնելու համար ստեղծեք լուծելու համակարգ։

$$a+b=-6 ab=5$$

Քանի որ ab-ն դրական է, a-ն և b-ն նույն նշանն ունեն։ Քանի որ a+b-ն բացասական է, a-ն և b-ն երկուսն էլ բացասական են։ Միակ նման զույգը համակարգի լուծումն է։

$$a=-5 b=-1$$

Վերագրեք դուրս բերված \left(x+a\right)\left(x+b\right) արտահայտությունը՝ օգտագործելով ստացված արժեքները:

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Հավասարման լուծումները գտնելու համար լուծեք x-5=0-ն և x-1=0-ն։

$$x=5 x=1$$

Փոխարինեք 5-ը x-ով \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Պարզեցնել: x=5 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$1=1$$

Փոխարինեք 1-ը x-ով \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Պարզեցնել: x=1 արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$1=1$$

\sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1-ի բոլոր լուծումների ցուցակը։

$$x=5 x=1$$