Լուծեք sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Լուծել x-ի համար (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Լուծման քայլերը

Հանեք -\sqrt{15+x^{2}} հավասարման երկու կողմից:

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{25-x^{2}} աստիճանը և ստացեք 25-x^{2}:

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}:

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{15+x^{2}} աստիճանը և ստացեք 15+x^{2}:

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Գումարեք 16 և 15 և ստացեք 31:

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Հանեք 31+x^{2} հավասարման երկու կողմից:

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Հանեք 31 25-ից և ստացեք -6:

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Համակցեք -x^{2} և -x^{2} և ստացեք -2x^{2}:

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(-6-2x^{2}\right)^{2}:

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}:

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 8 աստիճանը և ստացեք 64:

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{15+x^{2}} աստիճանը և ստացեք 15+x^{2}:

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 64 15+x^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Հանեք 960 երկու կողմերից:

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Հանեք 960 36-ից և ստացեք -924:

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Հանեք 64x^{2} երկու կողմերից:

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Համակցեք 24x^{2} և -64x^{2} և ստացեք -40x^{2}:

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Փոխարինեք t-ը x^{2}-ով:

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -40-ը b-ով և -924-ը c-ով:

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Լուծեք t=\frac{40±128}{8} հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$t=21 t=-11$$

Քանի որ x=t^{2}, լուծումները ստացվում են գնահատելով x=±\sqrt{t}-ը յուրաքանչյուր t-ի համար:

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Փոխարինեք -\sqrt{21}-ը x-ով \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Պարզեցնել: x=-\sqrt{21} արժեքը չի բավարարում հավասարմանը, քանի որ ձախ և աջ կողմերն ունեն հակադիր նշաններ։

$$-4=4$$

Փոխարինեք \sqrt{21}-ը x-ով \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Պարզեցնել: x=\sqrt{21} արժեքը չի բավարարում հավասարմանը, քանի որ ձախ և աջ կողմերն ունեն հակադիր նշաններ։

$$-4=4$$

Փոխարինեք -\sqrt{11}i-ը x-ով \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Պարզեցնել: x=-\sqrt{11}i արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$4=4$$

Փոխարինեք \sqrt{11}i-ը x-ով \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Պարզեցնել: x=\sqrt{11}i արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4-ի բոլոր լուծումների ցուցակը։

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$