Լուծեք sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Լուծել x-ի համար

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Լուծման քայլերը

Հանեք -\sqrt{19-x^{2}} հավասարման երկու կողմից:

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{15+x^{2}} աստիճանը և ստացեք 15+x^{2}:

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}:

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{19-x^{2}} աստիճանը և ստացեք 19-x^{2}:

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Գումարեք 4 և 19 և ստացեք 23:

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Հանեք 23-x^{2} հավասարման երկու կողմից:

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

23-x^{2}-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Հանեք 23 15-ից և ստացեք -8:

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Համակցեք x^{2} և x^{2} և ստացեք 2x^{2}:

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Հավասարման երկու կողմերը բարձրացրեք քառակուսի:

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Նյուտոնի երկանդամի \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} միջոցով ընդարձակեք \left(-8+2x^{2}\right)^{2}:

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Թվի աստիճանը այլ աստիճան բարձրացնելու համար բազմապատկեք ցուցիչները: Բազմապատկեք 2-ը և 2-ը և ստացեք 4-ը:

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Ընդարձակեք \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}:

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի 4 աստիճանը և ստացեք 16:

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Հաշվեք 2-ի \sqrt{19-x^{2}} աստիճանը և ստացեք 19-x^{2}:

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 16 19-x^{2}-ով բազմապատկելու համար:

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Հանեք 304 երկու կողմերից:

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Հանեք 304 64-ից և ստացեք -240:

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Հավելել 16x^{2}-ը երկու կողմերում:

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Համակցեք -32x^{2} և 16x^{2} և ստացեք -16x^{2}:

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Փոխարինեք t-ը x^{2}-ով:

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Հետևյալ ձևի բոլոր հավասարումները՝ ax^{2}+bx+c=0 կարող են լուծվել քառ. հավ. արմ. բանաձևի միջոցով՝ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}: Քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք 4-ը a-ով, -16-ը b-ով և -240-ը c-ով:

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Կատարեք հաշվարկումներ:

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Լուծեք t=\frac{16±64}{8} հավասարումը, երբ ±-ը գումարած է և երբ ±-ը հանած է:

$$t=10 t=-6$$

Քանի որ x=t^{2}, լուծումները ստացվում են գնահատելով x=±\sqrt{t}-ը դրական t-ի համար:

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Փոխարինեք \sqrt{10}-ը x-ով \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Պարզեցնել: x=\sqrt{10} արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$2=2$$

Փոխարինեք -\sqrt{10}-ը x-ով \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 հավասարման մեջ:

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Պարզեցնել: x=-\sqrt{10} արժեքը բավարարում է հավասարմանը։

$$2=2$$

\sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2-ի բոլոր լուծումների ցուցակը։

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$