Լուծեք {c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17}

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Բաժանեք 12 -2-ի և ստացեք -6:

$$x+y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5-4y-12=17$$

Հանեք 12 5-ից և ստացեք -7:

$$5x-7-4y=17$$

Հավելել 7-ը երկու կողմերում:

$$5x-4y=17+7$$

Գումարեք 17 և 7 և ստացեք 24:

$$5x-4y=24$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=-6$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y-6$$

Փոխարինեք -y-6-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-4y=24:

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -y-6:

$$-5y-30-4y=24$$

Գումարեք -5y -4y-ին:

$$-9y-30=24$$

Գումարեք 30 հավասարման երկու կողմին:

$$-9y=54$$

Բաժանեք երկու կողմերը -9-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով x=-y-6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\left(-6\right)-6$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -6:

$$x=6-6$$

Գումարեք -6 6-ին:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Բաժանեք 12 -2-ի և ստացեք -6:

$$x+y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5-4y-12=17$$

Հանեք 12 5-ից և ստացեք -7:

$$5x-7-4y=17$$

Հավելել 7-ը երկու կողմերում:

$$5x-4y=17+7$$

Գումարեք 17 և 7 և ստացեք 24:

$$5x-4y=24$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=-6$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Բաժանեք 12 -2-ի և ստացեք -6:

$$x+y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 5 x+1-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -4 y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$5x+5-4y-12=17$$

Հանեք 12 5-ից և ստացեք -7:

$$5x-7-4y=17$$

Հավելել 7-ը երկու կողմերում:

$$5x-4y=17+7$$

Գումարեք 17 և 7 և ստացեք 24:

$$5x-4y=24$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

Պարզեցնել:

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

Հանեք 5x-4y=24 5x+5y=-30-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$5y+4y=-30-24$$

Գումարեք 5y 4y-ին:

$$9y=-30-24$$

Գումարեք -30 -24-ին:

$$9y=-54$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$y=-6$$

Փոխարինեք -6-ը y-ով 5x-4y=24-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

Բազմապատկեք -4 անգամ -6:

$$5x+24=24$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=-6$$