Լուծեք {l}{10x-3y=27}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x - 3 y = 27 }\\{ 4 x + y = 2 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$10x-3y=27$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$10x=3y+27$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$x=\frac{1}{10}\left(3y+27\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{10} անգամ 27+3y:

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}$$

Փոխարինեք \frac{27+3y}{10}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+y=2:

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}\right)+y=2$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{27+3y}{10}:

$$\frac{6}{5}y+\frac{54}{5}+y=2$$

Գումարեք \frac{6y}{5} y-ին:

$$\frac{11}{5}y+\frac{54}{5}=2$$

Հանեք \frac{54}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{11}{5}y=-\frac{44}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{11}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{10}\left(-4\right)+\frac{27}{10}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{10} անգամ -4:

$$x=-\frac{6}{5}+\frac{27}{10}$$

Գումարեք \frac{27}{10} -\frac{6}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{10-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{10-\left(-3\times 4\right)}&\frac{10}{10-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 27+\frac{3}{22}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 27+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

10x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 10-ով:

$$4\times 10x+4\left(-3\right)y=4\times 27,10\times 4x+10y=10\times 2$$

Պարզեցնել:

$$40x-12y=108,40x+10y=20$$

Հանեք 40x+10y=20 40x-12y=108-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$40x-40x-12y-10y=108-20$$

Գումարեք 40x -40x-ին: 40x-ը և -40x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y-10y=108-20$$

Գումարեք -12y -10y-ին:

$$-22y=108-20$$

Գումարեք 108 -20-ին:

$$-22y=88$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=-4$$

Փոխարինեք -4-ը y-ով 4x+y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-4=2$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$4x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{3}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$