Լուծեք {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=9$$

$$y=12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$x-2y=-15$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-5x+4y=3$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=-4y+3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ -4y+3:

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4y-3}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-2y=-15:

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

Գումարեք \frac{4y}{5} -2y-ին:

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

Գումարեք \frac{3}{5} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{6}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=12$$

Փոխարինեք 12-ը y-ով x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{5} անգամ 12:

$$x=\frac{48-3}{5}$$

Գումարեք -\frac{3}{5} \frac{48}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$x-2y=-15$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=9,y=12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$x-2y=-15$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

-5x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -5-ով:

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

Պարզեցնել:

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

Հանեք -5x+10y=75 -5x+4y=3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

Գումարեք -5x 5x-ին: -5x-ը և 5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4y-10y=3-75$$

Գումարեք 4y -10y-ին:

$$-6y=3-75$$

Գումարեք 3 -75-ին:

$$-6y=-72$$

Բաժանեք երկու կողմերը -6-ի:

$$y=12$$

Փոխարինեք 12-ը y-ով x-2y=-15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-2\times 12=-15$$

Բազմապատկեք -2 անգամ 12:

$$x-24=-15$$

Գումարեք 24 հավասարման երկու կողմին:

$$x=9$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=9,y=12$$