Լուծեք {r}{2x+3y=21}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 21 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2x+3y=21,x-y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2x+3y=21$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-3y+21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+21\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ -3y+21:

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+21}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=3:

$$-\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}-y=3$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} -y-ին:

$$-\frac{5}{2}y+\frac{21}{2}=3$$

Հանեք \frac{21}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{21}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{2} անգամ 3:

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Գումարեք \frac{21}{2} -\frac{9}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2x+3y=21,x-y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 21+\frac{3}{5}\times 3\\\frac{1}{5}\times 21-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2x+3y=21,x-y=3$$

2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2-ով:

$$2x+3y=21,2x+2\left(-1\right)y=2\times 3$$

Պարզեցնել:

$$2x+3y=21,2x-2y=6$$

Հանեք 2x-2y=6 2x+3y=21-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$2x-2x+3y+2y=21-6$$

Գումարեք 2x -2x-ին: 2x-ը և -2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$3y+2y=21-6$$

Գումարեք 3y 2y-ին:

$$5y=21-6$$

Գումարեք 21 -6-ին:

$$5y=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x-y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-3=3$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=3$$